すぐわかる代数入門の参考書

2016年8月18日 木曜日 台風一過の快晴

石村園子 すぐわかる代数入門 東京図書 1999年 

補注 久々に「群」を勉強。石村さんの「すぐわかる」本は、解法が省略なく丁寧に書かれていて、私のような初学者には親切な本である。ただし、私にとっては「準同型定理」辺りになると、(生まれてから)初めて読んでいる感じで、難しかった。「すぐわかる」とも言えないので、次に読む代数本の傍らにこの石村本を置いて、読み返すべき所を開いて復讐しながら進みたいと思う。

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2016年7月11日 晴れ

代数入門の参考書リスト:
石村園子 すぐわかる代数入門 東京図書 1999年 ・・に関するamazonの書評より、<以下引用>
(1)とかく代数入門と謳った本は多いけど、これがまた決して入門的ではなく困惑するのですが、
この本はやさしい具体例とイラストで示してくれ、要点もメリハリの効いた指摘があり素晴らしい書き方をされています。
併読本としては硲文夫「代数学―数と式の現代的理論」。
引き続き整数論は吉田 武「素数夜曲」や
群論は石谷 茂「入門入門群論」
横田 一郎 『初めて学ぶ人のための「群論入門」』で足慣らし、
次に加藤 明史「読んで楽しむ代数学」倉田 吉喜「代数学」
中島 匠一「代数と数論の基礎」、
「代数方程式とガロア理論」、
彌永 昌吉「詳解 代数入門」というコースが読みやすいとおもいます。
古い本ですが高橋秀雄「代数と構造」、
大林忠夫「現代代数学」日本放送出版協会、は分かりやすい素晴らしい本です。是非復刻されんことを希望します。
また兵庫教育大学 自然系 数学分野 松山 廣 研究室 [・・・]
山上滋先生の[・・・]のteachingから講義ノートPDF もコピペで必見

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石谷 茂 (著) 入門入門群論―代数的構造への第一歩 (1973年) (現代数学セレクト〈3〉) - – 古書, 1973

補注 この本の書評欄では以下のようにリストで推薦されている:
最高にわかりやすい群論入門書
投稿者 雑学家 投稿日 2007/9/15
しばしば代数の参考書に群論の入門書として掲げてある本はまたしても初学者向きではありません。でもこの本は今まで見た中で最高にわかりやすいです。整数論の合同式、類別、剰余類は「すぐわかる代数」石村 園子、「素数夜曲」吉田 武 、「代数的構造」遠山啓、などやさしく書かれた本で容易に学べます。またとかく分かりにくいイデアルは「代数学―数と式の現代的理論」硲 文夫で学べます。ネットでも群論は「物理のかぎしっぽ」、「らいおんの家」でもわかりやすく解説されています。入手難のため内容も遠山先生並みにガロア理論まで増やして復刻版が出ることを是非期待したいものです。内容が少ない分だけ星4つにしました。ネット動画you tube 圏論勉強会 第2回の終わりの15分は必見です。

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硲 文夫 (著), 一松 信 (編集) 代数学―数と式の現代的理論 (新数学入門シリーズ) 単行本 – 1997/4
代数学-POD版- ―数と式の現代的理論 (新数学入門シリーズ) 単行本(ソフトカバー) – 2012/4/12

同じくアマゾンの書評より:
代数学の肝、イデアルについてこれほどわかりやすい本は初めてです。
投稿者 雑学家 投稿日 2014/2/23
可換環(多項式環と整数環の二つ主流)の入門に最適本です。それはイデアル概念で説明される。
偶数同士を足しても偶数だし、偶数を何倍しても偶数だよね!(これがイデアルのイメージ)、
他方、奇数を2Z+1で表わすと、奇数同士の足し算は偶数になり閉じてないので群にならない。
偶数でも奇数でも,偶数を掛ければ偶数になりますから,イデアルの定義を満たしています。
整数全体の集合 Z において、イデアル 2Z(Zの半分の集合) は唯一の数 2 で生成されている。
この唯一の数で生成されるイデアルのことを単項イデアルという。
整数における素数にあたるものを素元、素数の倍数にあたるものを素イデアル(多項式環では凖同型写像の核で登場)という。
いま3の倍数の集合で考えると、、差も3の倍数だし、何倍かしても、やはり3の倍数となる。
整数環 z で,ある素数 pを取ります.p から生成する単項イデアルは
I={-3p,-2p,-p,0,p,2p,3p} のように p の倍数全体からなる集合[p]
になります.確かに,どんな整数もp の倍数を掛けたら p の倍数になり,
[p] はイデアルになっています。
イデアルは、ある2つの条件が成り立つ部分集合です。
部分集合と言うからにはまず全体がなければ始まらないので、
全体をA、その部分集合であるイデアルをBとします。
Bで成り立たなければいけない2つの条件は次の通りです。
・Bの中のある元に、『B』の中のどんな元を『足して』も、Bの中に戻る。
・Bの中のある元に、『A』の中のどんな元を『掛けて』も、Bの中に戻る。
例えば、Aを整数、Bを5の倍数とします。BはAの一部ですね。
・5の倍数に5の倍数を足すと5の倍数になります。
・5の倍数に整数を掛けると5の倍数になります。
上の2つの条件がきれいに満たされていることが分かる。
5の倍数と言うのは、整数の中で上の条件を満たす部分集合(=イデアル)になるわけです。要するにイデアルとは倍数の概念です。
イデアルとは環の部分集合ですが、その環にイデアルがあると剰余環というものが定義できます。
剰余環というのは割り算してできる環です。(剰余は割り算を意味します)
Rを環とし、mをそのイデアルとすると、Rをmで割った環である剰余環R/mが定まります。
割り算を考えて剰余環を作ることで元の環のことがわかったり、
無限なものを(ぐるぐる王国に)分類し有限にして調べると便利なわけです。
(位相空間でいえば商空間というものになる)
同様にして正規部分群、群Gの正規部分群Hがあれば、剰余群G/Hというのが出来上がります。
GをいろんなHでどんどん割って行くと、元の群であるGの様子が分かるわけです。
たとえばGの正規部分群がGと単位群しかなかったら単純群という群になります。
剰余群がアーベル群であればこれはガロア理論で重要な可解群という群になります。
本よっては[・・・]
整数の部分集合Aで,Aの2つの元の差,およびAの元の整数倍.
が再びAに属するような部分集合をイデアルという。
これは多項式の場合にも言える. 変数での多項式の集合には,
和の単位元 0と積の単位元 1があり,和差および積の演算で閉じている,
つまりそれらの演算の結果は再びに属する.多項式の集合の場合は多項式環といわれる.
極大イデアル(割り算した答えが一番小さいならば、そのとき割る数は一番大きいというイメージ)
環とイデアルの関係は群と正規部分群に似ている。
多項式の世界では線形代数との類似はイデアルの定義は部分空間の定義に似ている。どちらも足し算と掛け算て閉じていなければならない。部分空間の場合スカラーを賭けるのに対し、イデアルの場合は多項式を掛ける点が異なる、多項式で生成されるイデアルは、有限個のベクトルで張られる空間に似ている。どちらも線形結合をしている。
素イデアルと準素イデアルは中学校で学んだ素数や素数のベキが果たしていたのと同じ役割です。
注意すべきは素数は極大イデアルであるということ。

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