趣味で量子力学

2016年8月24日 水曜日 晴れ

広江克彦 趣味で量子力学 理子図書 2013年

つぶつぶなもの:
物理ではこれを「量子」と呼ぶ。そこには「一定の量を持った粒」という意味が込められている。しかし、これはとても大切なことなので覚えておいてほしいのだが、量子というのは粒子そのものであることを意味してはいない。あたかも粒子であるかのように、一定の量としてやりとりされるものであることを意味している。(広江、同書、p5)

*****

エーレンフェストの定理
期待値について面白い関係が成り立っている。「平均的に見れば、粒子の位置と運動量はニュートンの運動方程式に従っている」ということが言えるのである。・・・(中略)・・・ つまり期待値の間には古典力学と同じ関係が成り立っているのだ。  もともと古典力学を基にして波動方程式を作ったのだから、このような結果が導かれることにはそれほど驚きを感じないかも知れない。しかしこれは重要な結果だ。ここらで考え方を逆転させておいた方がいい。  確かにここまで、形式的には運動方程式から波動方程式を導くという順序で進んでは来た。しかしこの定理が意味するのは、「この世界の根本にシュレーディンガー方程式に従う波動が存在しているからこそ、我々にはあたかもニュートンの運動方程式が成り立っているように見えているのだ」ということだ。・・この定理によって、ニュートン力学が成り立っている理由がより根本のレベルから説明できるようになるわけで、我々はまた一歩、本質に近づいたと言える。ニュートンの運動方程式は量子力学的な法則の結果に過ぎなかったのだ。  量子力学は常識の通用しない不思議な世界だと人は言う。実はそうではない。我々が世界の表面しか見ずにそれを常識だと思って生きてきただけなのである。(広江、同書、p109−111)

*****

********************************************

やさしく学べる線形代数

2016年8月23日 火曜日 朝はかなり強い雨

石村園子 やさしく学べる線形代数 共立出版 2000年

補注 石村本の第2冊目で、線形代数の復習。ところが、復習のはずなのになかなか捗らないのである。この夏が例年よりも大きく蒸し暑いこともあり、少し消耗戦になっている。
 石村さんのこの入門書では行列の基本変形や行列式の計算などについて省略されずに図示されていてとても親切でわかりやすい。このような本が1975年に手元にあったなら、私の大学一年生時代もずっとハッピーであったろうと思う。
 行列と行列式の問題では、簡単な計算問題を繰り返し解きながら理解を確認してゆくという進め方。
 簡単なはず。が、私はとても手間取ってしょっちゅう間違っているではないか。どうしたことか。計算間違いの原因を探ってみると、一番多いのは何と「問題(最初に与えられた行列の整数)の計算用紙への写し間違い」であった。お蔭で最初から複雑な分数計算に陥って時間を取られていることがある。・・このような自分が陥りやすい間違いの傾向に気づいたので、これからは計算用紙を節約しないで大きめの字で黒々と太い鉛筆で、しっかり問題を写し、確認し、それから計算を進めてゆこうと思う。ほとんどは簡単な整数の加減算術なので、6歳の頃には習熟していたものである。ここは60歳に近づいても衰えてはいない(のでホッとしている)。

*****

********************************************

力と数学のはなし:初等力学入門

2016年8月18日 木曜日 晴れ

鷲尾洋保 力と数学のはなし わかりやすい初等力学入門 日科技連 1999年

**

2016年8月23日 火曜日 雨のち晴れ

ここでは万有引力の法則からケプラーの法則が導き出せるかどうかを考えることにします。いわば、ニュートンと逆のことをするわけですが、それとともに、天体や人工衛星の運動を考えてみたいと思います。(鷲尾、同書、p100)

*****

********************************************

すぐわかる代数入門の参考書

2016年8月18日 木曜日 台風一過の快晴

石村園子 すぐわかる代数入門 東京図書 1999年 

補注 久々に「群」を勉強。石村さんの「すぐわかる」本は、解法が省略なく丁寧に書かれていて、私のような初学者には親切な本である。ただし、私にとっては「準同型定理」辺りになると、(生まれてから)初めて読んでいる感じで、難しかった。「すぐわかる」とも言えないので、次に読む代数本の傍らにこの石村本を置いて、読み返すべき所を開いて復讐しながら進みたいと思う。

*****

2016年7月11日 晴れ

代数入門の参考書リスト:
石村園子 すぐわかる代数入門 東京図書 1999年 ・・に関するamazonの書評より、<以下引用>
(1)とかく代数入門と謳った本は多いけど、これがまた決して入門的ではなく困惑するのですが、
この本はやさしい具体例とイラストで示してくれ、要点もメリハリの効いた指摘があり素晴らしい書き方をされています。
併読本としては硲文夫「代数学―数と式の現代的理論」。
引き続き整数論は吉田 武「素数夜曲」や
群論は石谷 茂「入門入門群論」
横田 一郎 『初めて学ぶ人のための「群論入門」』で足慣らし、
次に加藤 明史「読んで楽しむ代数学」倉田 吉喜「代数学」
中島 匠一「代数と数論の基礎」、
「代数方程式とガロア理論」、
彌永 昌吉「詳解 代数入門」というコースが読みやすいとおもいます。
古い本ですが高橋秀雄「代数と構造」、
大林忠夫「現代代数学」日本放送出版協会、は分かりやすい素晴らしい本です。是非復刻されんことを希望します。
また兵庫教育大学 自然系 数学分野 松山 廣 研究室 [・・・]
山上滋先生の[・・・]のteachingから講義ノートPDF もコピペで必見

*****

石谷 茂 (著) 入門入門群論―代数的構造への第一歩 (1973年) (現代数学セレクト〈3〉) - – 古書, 1973

補注 この本の書評欄では以下のようにリストで推薦されている:
最高にわかりやすい群論入門書
投稿者 雑学家 投稿日 2007/9/15
しばしば代数の参考書に群論の入門書として掲げてある本はまたしても初学者向きではありません。でもこの本は今まで見た中で最高にわかりやすいです。整数論の合同式、類別、剰余類は「すぐわかる代数」石村 園子、「素数夜曲」吉田 武 、「代数的構造」遠山啓、などやさしく書かれた本で容易に学べます。またとかく分かりにくいイデアルは「代数学―数と式の現代的理論」硲 文夫で学べます。ネットでも群論は「物理のかぎしっぽ」、「らいおんの家」でもわかりやすく解説されています。入手難のため内容も遠山先生並みにガロア理論まで増やして復刻版が出ることを是非期待したいものです。内容が少ない分だけ星4つにしました。ネット動画you tube 圏論勉強会 第2回の終わりの15分は必見です。

*****

硲 文夫 (著), 一松 信 (編集) 代数学―数と式の現代的理論 (新数学入門シリーズ) 単行本 – 1997/4
代数学-POD版- ―数と式の現代的理論 (新数学入門シリーズ) 単行本(ソフトカバー) – 2012/4/12

同じくアマゾンの書評より:
代数学の肝、イデアルについてこれほどわかりやすい本は初めてです。
投稿者 雑学家 投稿日 2014/2/23
可換環(多項式環と整数環の二つ主流)の入門に最適本です。それはイデアル概念で説明される。
偶数同士を足しても偶数だし、偶数を何倍しても偶数だよね!(これがイデアルのイメージ)、
他方、奇数を2Z+1で表わすと、奇数同士の足し算は偶数になり閉じてないので群にならない。
偶数でも奇数でも,偶数を掛ければ偶数になりますから,イデアルの定義を満たしています。
整数全体の集合 Z において、イデアル 2Z(Zの半分の集合) は唯一の数 2 で生成されている。
この唯一の数で生成されるイデアルのことを単項イデアルという。
整数における素数にあたるものを素元、素数の倍数にあたるものを素イデアル(多項式環では凖同型写像の核で登場)という。
いま3の倍数の集合で考えると、、差も3の倍数だし、何倍かしても、やはり3の倍数となる。
整数環 z で,ある素数 pを取ります.p から生成する単項イデアルは
I={-3p,-2p,-p,0,p,2p,3p} のように p の倍数全体からなる集合[p]
になります.確かに,どんな整数もp の倍数を掛けたら p の倍数になり,
[p] はイデアルになっています。
イデアルは、ある2つの条件が成り立つ部分集合です。
部分集合と言うからにはまず全体がなければ始まらないので、
全体をA、その部分集合であるイデアルをBとします。
Bで成り立たなければいけない2つの条件は次の通りです。
・Bの中のある元に、『B』の中のどんな元を『足して』も、Bの中に戻る。
・Bの中のある元に、『A』の中のどんな元を『掛けて』も、Bの中に戻る。
例えば、Aを整数、Bを5の倍数とします。BはAの一部ですね。
・5の倍数に5の倍数を足すと5の倍数になります。
・5の倍数に整数を掛けると5の倍数になります。
上の2つの条件がきれいに満たされていることが分かる。
5の倍数と言うのは、整数の中で上の条件を満たす部分集合(=イデアル)になるわけです。要するにイデアルとは倍数の概念です。
イデアルとは環の部分集合ですが、その環にイデアルがあると剰余環というものが定義できます。
剰余環というのは割り算してできる環です。(剰余は割り算を意味します)
Rを環とし、mをそのイデアルとすると、Rをmで割った環である剰余環R/mが定まります。
割り算を考えて剰余環を作ることで元の環のことがわかったり、
無限なものを(ぐるぐる王国に)分類し有限にして調べると便利なわけです。
(位相空間でいえば商空間というものになる)
同様にして正規部分群、群Gの正規部分群Hがあれば、剰余群G/Hというのが出来上がります。
GをいろんなHでどんどん割って行くと、元の群であるGの様子が分かるわけです。
たとえばGの正規部分群がGと単位群しかなかったら単純群という群になります。
剰余群がアーベル群であればこれはガロア理論で重要な可解群という群になります。
本よっては[・・・]
整数の部分集合Aで,Aの2つの元の差,およびAの元の整数倍.
が再びAに属するような部分集合をイデアルという。
これは多項式の場合にも言える. 変数での多項式の集合には,
和の単位元 0と積の単位元 1があり,和差および積の演算で閉じている,
つまりそれらの演算の結果は再びに属する.多項式の集合の場合は多項式環といわれる.
極大イデアル(割り算した答えが一番小さいならば、そのとき割る数は一番大きいというイメージ)
環とイデアルの関係は群と正規部分群に似ている。
多項式の世界では線形代数との類似はイデアルの定義は部分空間の定義に似ている。どちらも足し算と掛け算て閉じていなければならない。部分空間の場合スカラーを賭けるのに対し、イデアルの場合は多項式を掛ける点が異なる、多項式で生成されるイデアルは、有限個のベクトルで張られる空間に似ている。どちらも線形結合をしている。
素イデアルと準素イデアルは中学校で学んだ素数や素数のベキが果たしていたのと同じ役割です。
注意すべきは素数は極大イデアルであるということ。

*****

********************************************

アウン・アプレンドの幾何学

2016年8月2日 火曜日 快晴

大村平 幾何のはなし 論理的思考のトレーニング 日科技連 1999年

どうぞ、問題をじっくり眺めて、どのような補助線が決め手になるかを推理し、見事に問題を解決して快哉を叫ばれますよう・・・、ひらめきを持つのではなく、ひらめかせてしまいますよう、祈ります。(大村、同書、p172)

*****

補注  死にそうになっているときの座右の書として、ほかにも適当な書物が私には数々あるはずだが、死の危険は突然に訪れることもあり、緊急脱出セットでも枕元に常備して家族に周知徹底しておかないと、じょうずに手元に調達できないこともあるだろう。・・・というわけで、昨日から今日の入院中には、つい先ごろから読み始めていて(農作業で疲れてページが追えず、このところは一日2ページ進まなかった)第1章で滞っていた大村さんの幾何のはなしを、(テーブルの上に置いてある緑の本をメガネと一緒に持ってきてとL氏に頼んで)病棟に持ってきてもらって読み進んだのである。

我々科学者にとって(人類にとっても)宝物である幾何学を、アナフィラキシーの症状で危なかった日に読み進めるのは、それはそれで格好いいような気もする。あるいは、スノッビッシュで格好悪いような気もする。大村さんの本は読みやすく、一泊二日の入院であれば、何とか通読可能である。今回は初等幾何が中心だったので、一層気楽に読み進められた。

実は、この本は、昨年4月末の帰省の際に同じく大村さんの論理の本と共にカバンに忍ばせて持っていた本である。ノンビリとした帰省計画が一転して予想外の現実展開となり、Y氏の緊急入院と介護、ご近所回りと法事、家の片づけなどに忙殺されて、「まえがき」さえ読み始められなかった。そういう「いわく付」の本であるが、今回の自分自身の緊急入院のお蔭で無事に通読することができた。とりあえず、安心してL氏にバトンタッチすることができそうである。

ただ、本当に死にそうなときまでには、もう少しステップアップした幾何学(できれば憧れのリーマン先生)を握りしめていられたら・・・それが理解できるほど明晰な頭脳でいられたら・・・きっと(その時点では)死なないだろうと思う。Learn as if you were to live forever!  あるいは最近覚えたスペイン語では、 Aún aprendo アウン・アプレンド!

*****

補注 リーマン幾何
リーマン計量をもつn次元空間の概念を取り扱う幾何学
ロバチェフスキー・ボヤイの幾何学も含めた非ユークリッド幾何の全体をリーマン幾何と呼ぶことも少なくありません(大村、同書、p249)

*****

********************************************