mathematics

複素数のはなし

2016年4月14日 木曜日

鷹尾洋保(たかおひろやす) 複素数のはなし 見えない数を使いこなす 日科技連 1997年

深川和久 ゼロからわかる虚数・複素数 ベレ出版 2009年

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深川本が「100%文系の人のための数学読本」として入門によい。鷹尾本はかなり高度の数学そして工学的な応用まで解説されていて面白い、が全部を理解するのは難しいレベル。

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三角関数を指数関数で示しておき、計算を実行し、最後にその実数部か虚数部をとると、途中の計算がやさしくなります。(鷹尾、同書、p74)

・・このように、減衰・振動・位相差を含んだ量を、複素数の指数関数として表すことができました。指数関数の計算は、三角関数の計算よりずっと簡単ですから、これを応用して、振動する系の微分方程式などを解くことができます。(鷲尾、同書、p78)

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複素数と等角写像

等角写像というのは、ある複素数平面上のある図形を別の複素数平面上の図形に形を変え、移すこと。変換はある関数によって行われる。・・この領域の数学は「関数論」といわれ、もっぱら複素数の関数について、その性質・演算を取り扱っている。(鷹尾、同書、p138)

写像によって、もとの角度が変わらない場合、これを等角写像という。等角写像が重要なのは、ある形のまわりの流れとか温度分布がその形と一緒に等角写像されること。・・等角写像ができる変換の関数は、正則関数に限られる。・・等角写像ができるためには、正則関数だけの条件では不十分。変換の関数 f(z) の導関数について、f'(z) ≠ 0 [ f'(z) が0でない]という条件が必要。(同書、p140)

正則関数

ある領域で、関数 w = f(z) が連続な導関数 f'(z) を持つとき、この関数を正則という。(同書、p141)

関数 w = f(z) が正則関数である条件 コーシー・リーマンの関係式が成り立つこと(同書、p145)

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