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平方数でも三角数でもある数:1と36の次に小さな数を見つけよう

2016年4月17日 日曜日 雨

ジョセフ・H・シルヴァーマン著 鈴木治郎訳 はじめての数論 発見と証明の大航海 ピタゴラスの定理から楕円曲線まで 原著第3版 ピアソンエデュケーション 2007年 A Friendly Introduction to Number Theory, Third Edition, 原著の初版は1997年、第3版は2006年

はじめての数論:

久々、というか、ほとんんど初めての本格的数論の学習。練習問題が豊富に提供されていて、自習向き。ただし、解答が載っていないので、安直に通読するという進め方は不可能である。

以下の練習問題は、四半分ぐらい解けた・・解ききるためには、もう一踏ん張りの発見が必要なのだろうが、それに到達できていない。

練習問題 1.1 平方数でも三角数でもある最初の2つの数は1と36である。次に小さな例を見つけよう。できればその次も見つけよう。
(シルヴァーマン、同書、p12)

昨晩からずいぶん考えて試行錯誤の末、n = 4k の三角数の場合の答えを見いだしている。無数に見つけることができるが、すぐに電卓では計算できない桁数になる。n = 4k±1 の三角数の場合の答えを見つけられず、呻吟している。・・ところが・・

解法は難しいが美しい
上記の問題はこの教科書の一番最初の練習問題である。難問のように思う。解答は与えられていない。しかし、この本のページをパラパラとめくっていくと、教科書の中盤のところで一章を設けてこの問題とその発展形が丁寧に解説されていたのだ。勉強を積み重ねて、この本の半ばまで到達できれば、最初の一問で苦労し、徒労を重ねたことも楽しい思い出、有意義なイントロとなる、自分で苦労してこそ印象に残るような学習が達成できる、という工夫がなされているのであった。

数論の初歩的な問題を考えているうちに、いつの間にか何時間もが過ぎてしまった。計算に迷走して、記録用紙が分厚く消費されているのに驚いたのである。こんなことは数論の場合以外ではほとんど経験しないことである。

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