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さらに決定不可能性について。付録:双対について。

2021年3月19日 金曜日 曇り(時に雨、時に雪、時に青空)

レイモンド・スマリヤン 長尾確・田中朋之訳 決定不能の論理パズル ゲーデルの定理と様相論理 白揚社 1990年(原著は Forever Undewcided, 1987 by Raymond Smullyan)

・・自分の整合性を永遠に知ることができない、すべての整合な推論者に本書を捧げる。(同書、とびらより)

補註: スマリヤン氏の著書を何冊も持っている。が、それでいて今まで一冊も最後のページまで読み通せたことがなかった。そこで、今回はともかく最後まで読み通すことを心に決めて、何日も、朝から晩まで図書館にこもって、鉛筆を片手に真偽表にTやFを書き込みながら読み進めた。何とか、最後まで読んで、本の最後のページに日付けを書き込むところまで。そこで敗退。・・この本は、途中からきわめて難しく、内容が高度になる。もっと易しいところから理解を積み重ねていかないと、歯が立たない。・・到底達し得ない高み深みを、めくるめく論理を垣間見た。

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補註(付録)論理の双対について、

一般には「双対」を「そうつい」、「相対」を「そうたい」と呼び分ける場合が多いようである。

ウィキペディアによると・・・

組にできる関係・演算に関し、一方で成り立つ主張と並行的な主張が他方でも成り立つこと。この時、両者は双対だと言い、他方を一方の双対と言う。例、順序関係の対(つい)「 a より前」「 a より後」、また、論理演算としての「かつ(∧)」と「または(∨)」との対。第二例では、否定演算¬を介して、「¬( A ∧ B )≡(¬ A )∨(¬ B )」に対し「¬( A ∨ B )≡(¬ A )∧(¬ B )」という並行性がある。
ウィキペディアによると・・・
双対(そうつい、dual, duality)とは、互いに対になっている2つの対象の間の関係である。2つの対象がある意味で互いに「裏返し」の関係にあるというようなニュアンスがある(双対の双対はある意味で “元に戻る”)。また、2つのものが互いに双対の関係にあることを「双対性がある」などとよぶ。双対は数学や物理学をはじめとする多くの分野に表れる。
なお読みについて、双対を「そうたい」と読む流儀もあり「相対 (relative)」と紛らわしい。並行して相対を「そうつい」と読む流儀もある。一般には「双対」を「そうつい」、「相対」を「そうたい」と呼び分ける場合が多いようである。
双対の具体的な定義は、双対関係の成立している対象の種類によって様々に与えられる。
論理の双対
命題を論理式として表したとき、論理和 ∨ と論理積 ∧ とをすべて入れ替え、全称記号 ∀ と存在記号 ∃ とをすべて入れ替えたものをもとの論理式の双対といい、入れ替えて得られた命題をもとの命題の双対命題と呼ぶ。双対の双対はもとの命題に一致する。
元の論理式が証明可能ならばその双対の否定が証明可能であり、ある論理式の否定が証明可能ならば、その論理式の双対が証明可能になる。
<以上、ウィキペディアより引用終わり>
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